Raisonnement par contraposée

Propriété

Une implication \(P\Rightarrow Q\) et sa contraposée \((\text{non } Q) \Rightarrow (\text{non } P)\) sont des propositions équivalentes.

Méthode

Pour démontrer que \(P\Rightarrow Q\), il suffit de démontrer sa contraposée \((\text{non } Q) \Rightarrow (\text{non } P)\).

Exemple

Soit \(a\) un entier naturel. Démontrer que si \(a^2\) est pair, alors \(a\) est pair. On effectue un raisonnement par contraposée avec :

• \(P\) : « \(a^2\) est pair », \((\text{non }P)\) : « \(a^2\) n'est pas pair » qui se réécrit comme « \(a^2\) est impair » ;
  
• \(Q\) : « \(a\) est pair », \((\text{non }Q)\) : « \(a\) n'est pas pair » qui se réécrit comme « \(a\) est impair ».
  

Ainsi, si on souhaite passer par un raisonnement par contraposée. On suppose que \(a\) est impair et on veut montrer que \(a^2\) est impair.
Supposons donc \(a\) impair.
Comme \(a\) est impair, il existe un entier \(k\) tel que \(a=2k+1\).
Donc \(a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1\).
Par ailleurs, \(a^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1=2k'+1\) avec \(k'=2k^2+2k\). \(k'\) étant un entier, cela montre que \(a^2\) est un nombre impair.
On vient de montrer la contraposée de la proposition directe.
Conclusion : si \(a^2\) est pair, alors \(a\) est pair.